北京航空航天大學(xué)2024年非全日制研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課考試大綱

　　請(qǐng)考生注意：

　　1、數(shù)學(xué)專業(yè)綜合課試題含常微分方程、近世代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)三門課程的內(nèi)容， 考生可任選其中二門課程的試題解答，多選無效。

　　2、每門課試題滿分 75 分。

　　常微分方程考試大綱

　　一、基本內(nèi)容與要求

　　(一) 初等積分法

　　1、 熟練掌握變量可分離方程、可化為變量分離方程的類型、一階線性方程與常數(shù)變易法、

　　全微分方程與積分因子等的解法。掌握一階隱方程與參數(shù)表示。

　　2、 會(huì)應(yīng)用降階法解某些高階方程。

　　3、 會(huì)建立簡(jiǎn)單的微分方程模型。(

　　(二) 線性方程和線性方程組

　　1、 掌握線性微分方程(組)的一般理論.

　　2、 掌握常系數(shù)線性微分方程(組)的解法.

　　3、 能應(yīng)用線性方程(組)解的結(jié)構(gòu)對(duì)方程的解做簡(jiǎn)單定性分析.

　　4、 了解二階線性方程的冪級(jí)數(shù)解法和 Laplace 方法。

　　5、 會(huì)應(yīng)用二階常系數(shù)線性方程分析振動(dòng)現(xiàn)象。

　　6、會(huì)求二階微分方程組的奇點(diǎn)及其類型

　　(三) 基本定理

　　1、掌握初值問題的存在、唯一性定理和解的延拓及解關(guān)于初值的連續(xù)、可微性定理

　　2、掌握解的存在、唯一性定理及證明。

　　近世代數(shù)考試大綱

　　一、基本內(nèi)容與要求

　　(一)基本概念

　　1、理解集合與映射的概念，掌握集合之間的運(yùn)算，能夠在集合之間建立映射關(guān)系，并判斷兩個(gè)映射是否相同。

　　2、掌握代數(shù)運(yùn)算與映射的關(guān)系，能夠建立有限集合之間的運(yùn)算表，并判斷給定的運(yùn)算是否滿足結(jié)合律、交換律以及兩種分配律。

　　3、掌握同態(tài)映射、同構(gòu)映射和自同構(gòu)的概念，理解同態(tài)與同態(tài)滿射(滿同態(tài))的關(guān)系， 并能判定映射是否是同態(tài)滿射(滿同態(tài))，掌握具有同態(tài)滿射(滿同態(tài))的集合之間的聯(lián)系。能夠判定給定的映射和運(yùn)算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個(gè)集合之間的同構(gòu)映射。

　　4、理解關(guān)系和等價(jià)關(guān)系的概念，掌握等價(jià)關(guān)系和分類之間的轉(zhuǎn)換定理，熟練判定給定的關(guān)系是否是等價(jià)關(guān)系。并熟悉剩余類的基本特性，能夠建立整數(shù)間給定模的剩余類。

　　(二) 群論

　　1、掌握群的等價(jià)定義和例子，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念。充分掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義， 能熟練掌握群與階的關(guān)系，會(huì)計(jì)算群元素的階。

　　2、理解群同構(gòu)、同態(tài)的定義，掌握一個(gè)群的自同構(gòu)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的像也是單位元，元 a 的逆元的像是 a 的像的逆元。

　　3、掌握循環(huán)群的定義和由生成元決定循環(huán)群的性質(zhì)與特點(diǎn)，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為 n 的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。4、熟練掌握變換的符號(hào)的運(yùn)用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，

　　且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個(gè)群都同一個(gè)變換群同構(gòu)的定理的證明。掌握元素求逆等運(yùn)算。

　　5、理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個(gè) n 元置換都可以寫成若干個(gè)互相沒有共同數(shù)字(不相連)的循環(huán)置換(輪換)的乘積的證明與運(yùn)用。理解有限群與置換群的同構(gòu)關(guān)系。

　　6、掌握子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。

　　7、掌握陪集的定義，以及與等價(jià)關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的關(guān)系， 并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素?cái)?shù)的群一定為循環(huán)群的證明。

　　8、 掌握不變子群(正規(guī)子群)的定義，能掌握一個(gè)群的子群是不變子群(正規(guī)子群)的充分必要條件的定理，理解商群的定義，能證明一個(gè)群同它的每一個(gè)商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個(gè)具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群(正規(guī)子群)的象的性質(zhì)。并能將子

　　群或不變子群(正規(guī)子群)的性質(zhì)運(yùn)用到循環(huán)群、變換群等群之中。

　　9、掌握 sylow 定理的應(yīng)用。

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　　609_數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課考試大綱.pdf